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全国高中数学联赛模拟试题(十)

2018-08-23 17:51:22 来源网站: 澳门百家乐

全国高中数学联赛模拟试题(十)

  第一试

  一、选择题:(每小题6分,共36分)

  1、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f:M→N使对任意的x∈M,都有x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射f的个数是

  (A)45 (B)27 (C)15 (D)11

  2、已知sin2q=a,cos2q=b,0<q< ,给出 值的五个答案

  ① ; ② ; ③ ; ④ ;

  ⑤ .

  其中正确的是:

  (A)①②⑤ (B)②③④ (C)①④⑤ (D)③④⑤

  3、若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

  (A)64 (B)66 (C)68 (D)70

  4、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…,由一些正整数组成,它们或者是3的幂,或者是若干个3的幂之和,则此数列的第100项为

  (A)729 (B)972 (C)243 (D)981

  5、 (其中 ,[x]表示不超过x的最大整数)的值为

  (A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数 称为“凸”数,当且仅当它满足a<b<c,c>d>e(如12430,13531等),则在所有的五位数中“凸”数的个数是

  (A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

  二、填空题:(每小题9分,共54分)

  1、过椭圆 上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足),并延长PH到Q,使得HQ=lPH(l≥1).当点P在椭圆上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围是 .

  2、已知异面直线a、b所成的角为60°,过空间一点P作与a、b都成角a(0<a<90°)的直线l,则这样的直线l的条数是f(a)= .

  3、不等式 的解集为 .

  4、设复数z满足条件|z-i|=1,且z≠0,z≠2i,又复数w使得 为实数,则复数w-2的辐角主值的取值范围是 .

  5、设a1,a2,…,a2002均为正实数,且 ,则a1a2…a2002的最小值是 .

  6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,则称它为“优选”数码(如12883,787480889等),否则称它为“非优选”数码(如2348756,958288等),则长度不超过n(n为自然数)的所有“优选”数码的个数之和为 .

  三、(20分)

  已知数列{an}是首项为2,公比为 的等比数列,且前n项和为Sn.

  (1) 用Sn表示Sn+1;

  (2) 是否存在自然数c和k,使得 >2成立.

  四、(20分)

  设异面直线a、b成60°角,它们的公垂线段为EF,且|EF|=2,线段AB的长为4,两端点A、B分别在a、b上移动.求线段AB中点P的轨迹方程.

  五、(20分)

  已知定义在R+上的函数f(x)满足

  (i)对于任意a、b∈R+,有f(ab)=f(a)+f(b);

  (ii)当x>1时,f(x)<0;

  (iii)f(3)=-1.

  现有两个集合A、B,其中集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2>0,p、q∈R+},集合B={(p,q)|f( )+ =0,p、q∈R+}.试问是否存在p、q,使 ,说明理由.

  第二试

  一、(50分)

  如图,AM、AN是⊙O的切线,M、N是切点,L是劣弧MN上异于M、N的点,过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.若 ,求证:∠POQ=60°.

  M

  A

  P

  Q

  N

  L

  O

  二、(50分)

  已知数列a1=20,a2=30,an+2=3an+1-an(n≥1).求所有的正整数n,使得1+5anan+1是完全平方数.

  三、(50分)

  设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点,其中p为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数:

  (1) 三角形的三个顶点都是整点,而且M是直角顶点;

  (2) 三角形的内心是坐标原点.

  参考答案

  第一试

  一、选择题:

  题号123456

  答案ACBDDB

  二、填空题:

  1、 ; 2、 ;

  3、 ; 4、 ;

  5、40022002; 6、 .

  三、(1) ; (2)不存在.

  四、 .

  五、不存在.

  第二试

  一、证略;

  二、n=3.

  三、 p≠2,7,11,13时,324个;p=2时,162个;p=7,11,13时,180个.


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